Numerische Integrationen

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall, also bei dem die Intervalle konstant sind. Sei $h$ die Länge der einzelnen Intervalle.

Dann:

• Die Fläche $S_1$ des ersten Trapezes ist: $$ S_1 = \frac{\left(f(x_0) + f(x_1)\right) h}{2} $$

• Die Fläche $S_2$ des zweiten Trapezes ist: $$ S_2 = \frac{\left(f(x_1) + f(x_2)\right) h}{2} $$

• …

• Die Fläche $S_n$ des letzten Trapezes ist: $$ S_n = \frac{\left(f(x_{n-1}) + f(x_n)\right) h}{2} $$

Alles was bleibt ist diese zu addieren. Mit anderen Worten, der genährte Wert des gesuchten Integrals $S'$ lautet wie folgt:

$$\begin{align*} S' & = \frac{\left(f(x_0) + f(x_1)\right) h}{2} + \frac{\left(f(x_1) + f(x_2)\right) h}{2} + \cdots + \frac{\left(f(x_{n-1}) + f(x_n)\right) h}{2} \quad . \end{align*}$$

Jetzt können wir das als Programm schreiben.

Aber warten Sie einen Moment! Denken wir mal darüber nach.

Zunächst einmal:

Betrachten wir also die obige Gleichung nochmal.

1. Betrachten Sie $S_1$ und $S_2$ genau. Beide enthalten $\frac{f(x_1) h}{2}$. Wir brauchen gar nicht erst durch 2 zu dividieren, da wir zwei halbierte Werte addieren.

2. In ähnlicher Weise wird $f(x_1)$ zweimal berechnet, was aber nur einmal geschehen kann.

3. Außerdem gilt für alle $S_i \; (i = 1, 2, ..., n)$, dass sie mit $h$ multipliziert werden, aber wir brauchen sie nicht jedes Mal zu multiplizieren, sondern nur einmal am Ende.

Im Allgemeinen ist die Berechnung von $f(x)$ sehr zeitaufwendig. (In den meisten Fällen, in denen sie nicht zeitaufwendig ist, kann sie ohne numerische Integration durchgeführt werden.) Wenn zum Beispiel $f(x) = \mathrm{e}^{-x^2}$, dann dauert die Berechnung von $x^2$ Zeit, und die Berechnung von $\exp$ dauert noch länger. Daher sollte auch die Anzahl der Berechnungen von $f(x)$ so weit wie möglich reduziert werden.

Letztendlich kann die obige Gleichung wie folgt umgeschrieben werden: \[ S' = \left( \frac{f(x_0)}{2} + f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_{n-1}) + \frac{f(x_n)}{2} \right) h \] oder, wenn wir etwas genauer sind: \[ S' = \left( \frac{f(x_0) + f(x_n)}{2} + f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_{n-1}) \right) h \]

Die Anzahl der Multiplikationen ist von $n$ mal auf 1 (!) gesunken. Die Anzahl der Divisionen wurde ebenfalls von $n$ auf 2 oder 1 reduziert. Außerdem kommt $f(x)$ in der ersten Gleichung $2n$ mal vor, in der zweiten Gleichung aber nur $n + 1$ mal, also fast die Hälfte. Diese sind mathematisch identisch, aber wenn man sie sich als Computerberechnungen vorstellt, sind sie unterschiedlich.

Die Vorgehensweise beim Schreiben eines Programms einer Berechnung (nicht nur eines Integrals) ist im Allgemeinen wie folgt.

• über das Prinzip der Berechnungsmethode nachdenken

• der notwendigen Formel für die Berechnung herleiten

• die Formel prüfen und überlegen, ob sie vereinfacht werden kann

• (endlich) das Programm schreiben

Daraus kann man ersehen, dass die Vorbereitung viel wichtiger ist als das Schreiben des Programms. Wenn Sie die Vorbereitungen vor dem Schreiben des Programms nicht richtig durchführen, kann es passieren, dass das Programm nur sehr langsam berechnet und / oder die Fehlerquote der Ergebnisse hoch wird.

Natürlich ist es keine schlechte Idee, vor allem am Anfang, ein Programm zu schreiben, ohne zu viel nachzudenken. (Viel zu schreiben und dabei auch Fehler zu machen, ist eine gute Erfahrung!) Es ist jedoch wichtig, sich darüber im Klaren zu sein, dass Sie Ihr Programm zu einem späteren Zeitpunkt möglicherweise nochmal überdenken und erheblich ändern müssen.

Der einfachste Weg ist, zunächst $h$ zu finden und es dann zu $x_0$ ($= x_\mathrm{l}$) zu addieren.

x = xl
h = (xu - xl) / n

for i in range(...):
    ...
    x += h
    ...

Der Wert von $h$ kann jedoch Fehler enthalten (innerhalb des Computers), so dass sich bei dieser Methode Fehler ansammeln können. (Siehe auch Worauf ist bei numerischen Berechnungen zu achten: Einführung in Fehler.)

Eine andere Methode ist, jedes Mal $x_i$ zu berechnen, als $$x_i = x_\mathrm{l} + \frac{\left(x_\mathrm{u} - x_\mathrm{l}\right) \times i}{n} \; .$$ Diese kann Fehler unterdrücken, die durch Fehler in $h$ verursacht werden, aber sie erhöht die Anzahl der Multiplikationen und Divisionen.

Vergleichen wir diese Methoden im Hinblick auf die Fehler. Sie fragen sich vielleicht, warum es (manchmal) einen Unterschied gibt, obwohl beide Methoden mathematisch identische Werte liefern sollten. Kurz gesagt, liegt es daran, dass Computer nicht mit unendlichen Ziffern umgehen können.

Der Klarheit halber denken wir in Dezimalzahlen. Angenommen, wir möchten das Intervall [0, 1] in drei Teile unterteilen und den Punkt dazwischen finden. Nehmen wir auch an, dass die signifikanten Stellen drei sind.

Nach der ersten Methode ist $h = (1 - 0) / 3 = 1 / 3 = 0.333$. $x_i$ wird also wie folgt berechnet. $$\begin{align*} x_0 &= 0 \\ x_1 &= x_0 + h = 0.333 \\ x_2 &= x_1 + h = 0.666 \\ x_3 &= x_2 + h = 0.999 \end{align*}$$ Es sollte $x_3 = 1$ sein, aber es gibt einen Fehler aufgrund eines Fehlers in $h$.

Bei der zweiten Methode erfolgt die Berechnung wie folgt. $$\begin{align*} x_0 &= 0 \\ x_1 &= x_0 + \frac{(1 - 0) \times 1}{3} = 0.333 \\ x_2 &= x_0 + \frac{(1 - 0) \times 2}{3} = 0.667 \\ x_3 &= x_0 + \frac{(1 - 0) \times 3}{3} = 1 \end{align*}$$ Es ist zu erkennen, dass der Fehler geringer ist als bei der ersten Methode. (Beachte Sie, dass auch bei der zweiten Methode $x_1$ und $x_2$ keine exakten Werte sind. Sie sind in der Tat Infinitesimale.)

Es ist jedoch zu beachten, dass die erste Methode nicht immer zu einem Fehler führt. Wenn $h$ keinen Fehler enthält (z. B. $h = 0.2$ bei Dezimalsystemen), wird dadurch kein Fehler eingeführt.