Wellenfunktionen von Wasserstoffatom

Wellenfunktion

\Psi

von Wasserstoffatom in Kugelkoordinaten

r

(Abstand vom Mittelpunkt),

\theta

(Breitenwinkel) und

\phi

(Längenwinkel):

\begin{aligned} \Psi_{n,l,m}(r,\theta ,\phi) & = (-1)^{\frac{m+|m|}{2}} \sqrt{\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}} \left(\frac{2}{na_0}\right)^{l+\frac{3}{2}}r^l\mathrm e^{-r/na_0}L^{2l+1}_{n+l}\left(\frac{2r}{na_0}\right) P^{|m|}_l(\cos\theta)e^{\mathrm i m\phi} \end{aligned}

wobei

$n$ : Hauptquantenzahl ( $n \in \mathbb{N}$ , $n \ge 1$ )
$l$ : Drehimpulsquantenzahl (Nebenquantenzahl) ( $l \in \mathbb{N}$ , $0 \le l \lt n$ )
$m$ : magnetische Quantenzahl ( $m \in \mathbb{N}$ , $-l \le m \le l$ )
$a_0$ : Bohrscher Radius
$L_n^k(x)$ : zugeordnete Laguerre-Polynome $\begin{aligned} L_n^k(x) & = \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k} \left( \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (x^n \mathrm{e}^{-x}) \right) \\ & = \sum_{m=0}^{n-k} (-1)^{m+k} \frac{(n!)^2}{m! (m+k)! (n-m-k)!} x^m \end{aligned}$
$P^{m}_l(x)$ : zugeordnete Legendrepolynome $P^{m}_l(x) = \frac{(-1)^m}{2^ll!} (1-x^2)^{\frac{m}{2}} \frac{\mathrm d^{l+m}}{\mathrm d x^{l+m}}(x^2-1)^l$

Umrechnung der Kugelkoordinaten

(r,\theta,\phi)

in die kartesischen Koordinaten

(x,y,z)

\begin{aligned} x & = r \sin\theta \cos\phi \\ y & = r \sin\theta \sin\phi \\ z & = r \cos\theta \end{aligned}