Wahrscheinlichkeitsdichte von Wasserstoffatom
Wahrscheinlichkeitsdichte
|\Psi|^2
von Wasserstoffatom.
(Nicht Wellenfunktion!)
Wellenfunktion \Psi
von Wasserstoffatom
in Kugelkoordinaten
r (Abstand vom Mittelpunkt),
\theta (Breitenwinkel) und
\phi (Längenwinkel):
\begin{aligned}
\Psi_{n,l,m}(r,\theta ,\phi)
& = (-1)^{\frac{m+|m|}{2}}
\sqrt{\frac{(n-l-1)!}{2n(n+l)!}\frac{2l+1}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}
\left(\frac{2}{na_0}\right)^{l+\frac{3}{2}}r^l\mathrm e^{-r/na_0}L^{2l+1}_{n+l}\left(\frac{2r}{na_0}\right)
P^{|m|}_l(\cos\theta)e^{\mathrm i m\phi}
\end{aligned}
wobei
- n : Hauptquantenzahl (n \in \mathbb{N}, n \ge 1)
- l : Drehimpulsquantenzahl (Nebenquantenzahl) (l \in \mathbb{N}, 0 \le l \lt n)
- m : magnetische Quantenzahl (m \in \mathbb{N}, -l \le m \le l)
- a_0 : Bohrscher Radius
- L_n^k(x) : zugeordnete Laguerre-Polynome
\begin{aligned} L_n^k(x) & = \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}x^k} \left( \mathrm{e}^x \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (x^n \mathrm{e}^{-x}) \right) \\ & = \sum_{m=0}^{n-k} (-1)^{m+k} \frac{(n!)^2}{m! (m+k)! (n-m-k)!} x^m \end{aligned}
- P^{m}_l(x) : zugeordnete Legendrepolynome
P^{m}_l(x) = \frac{(-1)^m}{2^ll!} (1-x^2)^{\frac{m}{2}} \frac{\mathrm d^{l+m}}{\mathrm d x^{l+m}}(x^2-1)^l
\begin{aligned}
x & = r \sin\theta \cos\phi \\
y & = r \sin\theta \sin\phi \\
z & = r \cos\theta
\end{aligned}