Messunsicherheit
Misst man eine physikalische Größe mehrfach in unabhängigen Messreihen, werden typischerweise unterschiedliche Messwerte erhalten. Thema der folgenden Visualisierungen und Simulationen ist, die Aussagekraft physikalischer Größen, die aus Messwerten bestimmt wurden, zu erfassen.
Messwerte als Verteilung
In der Visualisierung wird die wiederholte Messung einer physikalischen Größe (in diesem Beispiel der Zeit t) simuliert. Die individuellen Messwerte werden unter der Zeitachse je als Punkt dargestellt. Zusätzlich zeigt ein Histogramm aus den Messwerten deren Verteilung.
Mit dem Schieberegler kann gewählt werden, wie viele zufällig generierte Messwerte berücksichtigt werden.
In diesem Beispiel liefert die wiederholte Messung Werte, die gemäß einer Normalverteilung um einen Mittelwert µ mit einer Standardabweichung σ variieren.
Die Verteilungsfunktion
Natürlich sind auch andere Verteilungen der Messwerte denkbar. In dieser Visualisierungen werden Messwerte so generiert, dass ihr Auftreten in einem gegebenen Intervall gleichverteilt ist.
Auch in diesem Beispiel kann die Verteilungsdichte mithilfe von zwei Parametern beschrieben werden, wie z.B. dem Mittelwert und der Breite:
Allgemein sind beliebige Verteilungsdichten für Messwerte möglich. Das ausreichend häufig wiederholte Messen einer Größe kann Aufschluss über deren Verteilung geben.
Kombination von Messwerten mit Unsicherheit
Häufig werden Messwerte benutzt, um daraus mithilfe eines mathematischen Zusammenhangs andere Größen zu berechnen. Dann stellt sich die Frage: Was ist die Verteilung des Ergebnisses? Eine einfache Antwort (die robust Ergebnisse liefert und ohne weitere Annahmen auskommt) ergibt sich, in dem man eine große Zahl an zufälligen Werten für die Ausgangsgrößen erzeugt (z.B. durch eine Messung, oder wie hier in der Simulation mithilfe eines Zufallsgenerators), je das Ergebnis der Rechenoperation bestimmt und die Ergebnisse erneut als Histogramm zeigt.
Im folgenden Beispiel wird ein Ergebnis (gezeigt in schwarz) mithilfe der zwei unabhängigen Größen a (blau) und b (rot) bestimmt.
Das Ergebnis ergibt sich gemäß folgender (interaktiv editierbarer) Formel aus den Größen a und b:
In dem Feld oben können beliebige Gleichungen als JavaScript-Code eingegeben werden. Die üblichen Grundrechenfunktionen sind +, -, *, /, Potenziert wird mit **, also z.B. a**2 für a2. Math.sqrt(a) ist die Wurzel und Math.exp(a) die Exponentialfunktion. Mehr Informationen sind auf MDN dokumentiert.
Das Fehlerintervall
Die obige Betrachtung von vielen Messwerten ist hilfreich um die Verteilung einer Messgröße zu erfassen und die Fortpflanzung der Messunsicherheit auf andere Größen zu ermitteln. In der Praxis kann es sich jedoch als unhandlich erweisen mit der vollständigen Verteilung zu arbeiten. Stattdessen werden häufig folgende Annahmen getroffen:
- Messgrößen sind normalverteilt. Damit wird sie vollständig durch ihren Mittelwert und die Standardabweichung beschrieben.
- Größen, die mithilfe von mathematischen Gleichungen aus anderen Größen berechnet wurden sind in guter Näherung ebenfalls normalverteilt.
Eine Größe kann unter den obigen Annahmen als Wert mit Fehlerintervall in der Form t ± Δt angegeben werden. Das Fehlerintervall Δt kann unterschiedlich festgelegt werden.
Wieder zeigt die Visualisierung eine Anzahl von Stichproben als Histogramm, hier zusätzlich mit der Wahrscheinlichkeitsdichte einer Normalverteilung.
Mit dem folgenden Schieberegler kann die Breite des Fehlerintervalls ausgewählt werden. Je nach Wahl der Breite enthält das Fehlerintervall einen bestimmten Anteil der Messwerte.