Atomorbitale

Was wird berechnet?

Rechengrundlage ist die komplexwertige Wellenfunktion des Wasserstoffatoms, die sich mit der Hauptquantenzahl n, der Nebenquantenzahl l und der magnetischen Quantenzahl m = −l ... +l ergibt. Es wird eine Linearkombination der Wellenfunktionen verschiedener magnetischer Quantenzahlen gebildet, so das die resultierende Superposition der Wellenfunktion reell ist. Die Namen der Wellenfunktionen bezeichnen das Polynom mit dem höchsten Grad (in kartesischen Koordinaten). Die Gleichungen greifen auf die Kugelflächenfunktionen und die „zugeordneten Laguerre-Polynome” zurück. Um die Wellenfunktion selbst unkompliziert für eigene Zwecke nutzen zu können, sind die Gleichungen hier als JavaScript-Code angegeben:

// Fakultät
function factorial(v) {
  let r = 1
  for (let i = 2; i <= v; i++) r *= i
  return r
}

// Generalized Laguerre polynomials (zugeordnete Laguerre-Polynome)
function generalizedLaguerrePoly(x, degree, alpha) {
  if (degree === 0) return 1
  if (degree === 1) return 1 + alpha - x
  const k = degree - 1
  return (
    ((2 * k + 1 + alpha - x) * generalizedLaguerrePoly(x, k, alpha) -
      (k + alpha) * generalizedLaguerrePoly(x, k - 1, alpha)) /
    (k + 1)
  )
}

// Kugelflächenfunktion (Spherical harmonics), reel, im Cartesischen
// Koordinatensystem
function realSpericalHarmonics(x, y, z, r, l, m) {
  const r2 = r * r
  const r3 = r2 * r
  switch (l) {
    case 0:
      return Math.sqrt(1 / (4 * Math.PI))
    case 1:
      switch (m) {
        case -1:
          return Math.sqrt(3 / (4 * Math.PI)) * (z / r)
        case 0:
          return Math.sqrt(3 / (4 * Math.PI)) * (x / r)
        case 1:
          return Math.sqrt(3 / (4 * Math.PI)) * (y / r)
      }
    case 2:
      switch (m) {
        case -2:
          return Math.sqrt(15 / (4 * Math.PI)) * ((x * y) / r2)
        case -1:
          return Math.sqrt(15 / (4 * Math.PI)) * ((y * z) / r2)
        case 0:
          return Math.sqrt(15 / (16 * Math.PI)) * ((3 * z * z - r2) / r2)
        case 1:
          return Math.sqrt(15 / (4 * Math.PI)) * ((x * z) / r2)
        case 2:
          return Math.sqrt(15 / (4 * Math.PI)) * ((x * x - y * y) / r2)
      }
    case 3:
      switch (m) {
        case -3:
          return (
            Math.sqrt(35 / (32 * Math.PI)) * ((y * (3 * x * x - y * y)) / r3)
          )
        case -2:
          return (Math.sqrt(105 / (4 * Math.PI)) * (x * y * z)) / r3
        case -1:
          return Math.sqrt(21 / (32 * Math.PI)) * ((y * (5 * z * z - r2)) / r3)
        case 0:
          return (
            Math.sqrt(7 / (16 * Math.PI)) * ((5 * z * z * z - 3 * z * r2) / r3)
          )
        case 1:
          return Math.sqrt(21 / (32 * Math.PI)) * ((x * (5 * z * z - r2)) / r3)
        case 2:
          return Math.sqrt(105 / (16 * Math.PI)) * ((z * (x * x - y * y)) / r3)
        case 3:
          return (
            Math.sqrt(35 / (32 * Math.PI)) * ((x * (x * x - 3 * y * y)) / r3)
          )
      }
  }
}

// Quanzenzahlen n, l
// Radius r
// Reduzierter Bohr-Radius a0
function getWaveFunctionRadial(n, l, r, a0) {
  const rho = (2 * r) / (n * a0)
  return (
    generalizedLaguerrePoly(r, n - l - 1, 2 * l + 1) *
    Math.exp(-rho / 2) *
    Math.pow(rho, l)
  )
}

// Quanzenzahlen n, l, m
// Position x, y, z
// Reduzierter Bohr-Radius a0
function getWaveFunction(n, l, m, x, y, z, a0) {
  const r = Math.sqrt(x ** 2 + y ** 2 + z ** 2)
  const normalizationFactor = Math.sqrt(
    ((2 / (n * a0)) ** 3 * factorial(n - l - 1)) / (2 * n * factorial(n + l))
  )
  return (
    normalizationFactor *
    getWaveFunctionRadial(n, l, r, a0) *
    realSpericalHarmonics(x, y, z, r, l, m)
  )
}
      

Was wird gezeigt?

Position und Deckkraft: Auf­ent­halts­wahr­schein­lich­keit

Die Abbildung zeigt eine Punktwolke aus 20000 Punkten. Die Position der Punkte im Raum wird zufällig gewählt. Dabei wird die Auf­ent­halts­wahr­schein­lich­keit berücksichtigt: Je größer die Auf­ent­halts­wahr­schein­lich­keit, desto größer die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig platzierter Punkt die entsprechende Position einnimmt.

Die Deckkraft der Punkte skaliert ebenfalls mit der Auf­ent­halts­wahr­schein­lich­keit. Der Skalierungsfaktor kann mit dem Schieberegler eingestellt werden.

Farbe: Vorzeichen der Wellenfunktion

Die Farbe zeigt das Vorzeichen der Wellenfunktion. Ein negatives Vorzeichen entspricht der Farbe rot, ein positives Vorzeichen der Farbe blau.

Ausblick: Molekülorbitale

Als grobe Näherung für mehratomige Moleküle können die eine Superposition von mehreren der oben gezeigten Atomorbitale erstellt werden. Diese Superposition wird in einer eigenen Visualisierung behandelt.