Lineare Anpassungen (Fits)
Bei der Erstellung einer Anpassung (englisch Fit) werden die Modellparameter einer mathematischen Funktion gesucht, die die Abhängigkeit zweier Größen voneinander beschreibt.
Bei einer linearen Anpassung beschreibt ein lineares Modell die Abhängigkeit einer Größe y von einer Größe x in der Form y = m x + b, wobei die Steigung m und der Achsenabschnitt b die gesuchten Modellparameter sind.
Methode der kleinsten Quadrate
Die Abbildung zeigt eine Auftragung von zufällig generierten (x, y)-Werten, die beispielsweise als Messwerte in einem Experiment erhalten wurden. Wir nehmen an, dass ein physikalisches Modell vorliegt, welches einen linearen Zusammenhang zwischen x und y liefert.
Das Ziel einer linearen Anpassung ist es die Steigung m und den Achsenabschnitt b einer Geraden zu finden, die „möglichst gut“ zu den Messwerten passt: Es werden diejenigen Werte für m und b gesucht, die die mittlere quadratische Abweichung zwischen den Werten und der Anpassungsgerade minimieren.
Die Gerade
Mögliche Kandidaten für die Anpassungsgerade können mit den Schiebereglern eingestellt werden:
Die quadratische Abweichung
Die Abweichung zwischen einem Datenpunkt (x, y) und der Anpassungsgerade ist y − (m x + b) (also der vertikale Abstand, entlang der y-Achse). Das Quadrat dieser Abweichung ist immer positiv und wird in der Visualisierung als Quadrat gezeigt.
Die minimale mittlere quadratische Abweichung
Die minimale mittlere quadratische Abweichung entspricht bis auf einem Normierungsfaktor der Summe über alle quadratischen Abweichungen:
In der Praxis werden die optimalen Fitparametern mithilfe einer entsprechenden Software aus den experimentellen Daten bestimmt.
Lineare Anpassung mit Gewichtung von Fehlern
Anstatt die mittlere quadratische Abweichung zu minimieren, kann die quadratische Abweichung jedes Messwertes zur Fitgerade mit dem reziproken Wert des Quadrats des Fehlers in y-Richtung (1 / Δy²) gewichtet werden. Die Anpassungsroutine minimiert dann diesen gewichteten Mittelwert.
Übungsaufgabe: Anpassung erstellen
Unten sind zehn zufällig generierte (x, y)-Werte mit Fehler (Δy) aufgelistet, die in einem Programm Ihrer Wahl gefittet werden können. Sie können Ihre Lösung mit der Musterlösung (wahlweise mit und ohne Gewichtung der Fehler) vergleichen und die Qualitäts des Fits beurteilen.
Der Seed ist eine Zahl, die die Serie an Zufallszahlen festlegt, die für die generierten Werte verwendet wird. Damit kann reproduzierbar an unterschiedlichen Computern oder zu unterschiedlichen Zeitpunkten mit dem selben Datensatz gearbeitet werden.
Generierte Daten
Selbstkontrolle
Stellen Sie eine Abweichung zwischen den oben angezeigtem Ergebnis und Ihrem eigenen Ergebnis fest, wenn Sie die Anpassung mit Fehlergewichtung erstellen? Das könnte daran liegen, dass das von Ihnen verwendete Programm die Gewichtung nicht mit dem Quadrat des reziproken Fehlers gewichtet sondern anders, z.B. mit dem reziproken Fehler (ohne die Quadratur). Hier gibt es mehrere valide Ansätze.